☆探讨考研高数中经常出现的几种求极限的方法

　　【摘要】极限是高等数学中一个非常重要的概念，是区别高等数学和初等数学的显著标志。而如何计算极限是高等数学教学的重点和难点，同时也是考研高数中的一个重要考点。本文通过以近几年考研高数试题为例，探讨了考研高数中经常出现的几种求极限的方法。
　　【关键词】高等数学；极限.
　　中图分类号：G42 文献标识码：A
　　极限是高等数学的基本概念之一，是高等数学中各种概念（如：连续性、导数、微分、定积分、无穷级数等）和相应计算方法能够建立和应用的基础，是区别高等数学和初等数学的显著标志。而如何计算极限是高等数学教学的重点和难点，同时也是考研高数中的一个重
　　要考点。本文主要以近几年考研高数试题为例，分析和总结了考研高数中经常出现的几种求极限的方法。
　　利用极限的性质求极限
　　有关收敛数列的性质包括：极限的唯一性、收敛数列的保号性、收敛数列的有界性以及收敛数列与其子数列间的关系。这些收敛数列的性质在求极限是非常有用。
　　例1：（2003年考研（数1））设，为非负数列，且，，，则________.
　　A.对任意的有成立； B.极限不存在；
　　C.对任意的有成立； D.极限不存在.
　　解：令，由于，由极限的保号性可知当足够大时，，从而有定义。若存在，则存在，这与已知条件矛盾。因此，不存在。故选D。另外，A，B，C可以举出反例。
　　评注：此题考察极限的定义、极限的性质。
　　利用两个重要极限公式求极限
　　两个重要极限包括：，。我们不但要熟悉这两个重要极限的基本内容，而且要掌握这两个基本极限公式的等价情形以及能够灵活运用。
　　例2：（2005年考研（数3）） ________.
　　解：
　　评注：此题考察重要极限公式的灵活运用。
　　例3：（2002年考研（数3））设常数，则 ________.
　　解：
　　=
　　评注：此题考察重要极限公式的灵活运用。
　　利用等价无穷小量代换求极限
　　等价无穷小代换在计算极限时起着非常重要的作用。充分利用等价无穷小代换能大大简化求极限的过程，而且能够更准确地得到结果。
　　例4：（2009年考研（数3）） ________.
　　解：
　　评注：此题考察常见无穷小量的等价代换。
　　利用罗比达法则求极限
　　罗比达法则是以导数为工具计算未定式、型极限的有效方法。对于其它未定式、、、、型极限的计算，首先将它们通过恒等变形转化成未定式型或者型，然后利用罗比达法则来计算。
　　例5：（2000年考研（数2）） ________.
　　解： =
　　评注：此题考察型未定式极限的计算。值得注意的是在使用罗比达法则时往往与等价无穷小量代换、重要极限等结合使用，这样可以简化极限的计算。
　　例6：（2011年考研（数2）） ________.
　　解：，
　　由于，
　　所以
　　评注：此题考察型未定式极限的计算。在计算此类极限时先用换底公式或者取对数，把其变成值型或者型，然后再利用罗比达法则来计算。
　　利用夹逼准则求极限
　　夹逼准则是极限存在的重要准则，是计算求和数列极限很有利的工具。
　　例7：（2008年考研（数4））设，计算 .
　　解： = .
　　由于且，
　　所以由夹逼准则可得 = .
　　利用定积分定义求极限
　　利用定积分定义在求某些项积和式的极限时，先将和式表示成连续函数在区间上的积和式，然后再取极限，其极限就是在
　　上的定积分：
　　.
　　例8：（2012年考研（数2）） _______.
　　解：原式= = .
　　评注：此题考察利用定积分的定义来计算极限。
　　【参考文献】
　　[1]同济大学数学系编. 高等数学（第六版）上下册[M]，北京：高等教育出版社，2007.
　　[2]李元正、李永乐、范培华，考研数学复习全书[M]，中国政法大学出版社，2013.
　　[3]黄先开、曹显兵，考研历届数学真题题型解析[M]，中国人民大学出版社，2013.