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极限概念在高等数学中占有重要的地位,它贯穿于整个高等数学的内容之中。因此,在每年的考研的高等数学试题中,必有求极限方面的试题。本文首先对极限试题的题型作一概括介绍,然后针对每种题型,根据夏天所提的“难度系数法”(见文献[1])来分析题型。所谓的“难度系数法”,就是根据解题时所用公式、概念的难度以及所用知识点的多少,将其难度划分为若干等级,进行综合打分。最后,根据这个综合打分,来解释极限试题常考的题型。
极限试题的类型可分为以下几大类(主要参考了文献[3]):
(1)已知一些常用的极限,利用极限的四则运算法则求极限。
(2)幂指型极限求法,即limax型的极限。利用幂指函数的运算法则求极限。比如:若x>0,n=1,2,…,且x=a,y=b则xnyn=ab。
但对于00、1∞、∞0型的极限,需利用对数恒等式,将lima(x)b(x)化为lime。
(3)利用无穷小的性质求极限。比如:有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。
(4)利用等价无穷小求极限。比如:当x→0时,
还有1-cosx~x
(5)利用重要极限1+x=e求极限.
对于1∞型的极限,常常可利用重要极限(1+x)1/x=e来求极限。
(6)利用L’Hospital(罗必达)法则求极限。
解题常用的技巧是:将分子或分母中的某些因子,利用等价无穷小,化为x的幂的形式,
比如:当x→0时,-1~·sinx~x,因此,在运算时,可将因子-1换为x。这样,给求导数带来方便。
(7)利用Taylor公式求极限。主要用到带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。
(8)利用定积分的定义求极限。
主要用来求和式的极限。比如:求++…+。应用的范围较窄。
(9)利用函数的连续性求极限
对于连续函数,求极限时,函数符号与极限符号可以交换。主要利用这个性质来求极限。
上面只是例举了一些常见的求极限的题型。当然,求极限的方法还有很多,比如:利用两边夹法则求极限,利用单调有界原理求极限等等,但由于研究生数学考试大纲没有提出要掌握这些内容。本文就不做分析了。
本文对于求极限的题型,根据所用的公式、概念和方法,将其难度分为三个等级,其难度系数分别赋予值1、1.5、2。比如,对于题型1,其计算公式很简单,难度系数定义为1;再比如,对于题型2,一般利用恒等式,将a(x)b(x)化为eb(x)lna(x),再根据极限的运算法则,求limeb(x)lna(x),其难度系数为1.5;至于题型4,用等价无穷小来求极限,由于无穷小的概念较难理解,且等价无穷小涉及的公式较多,故难度系数规定为2.
对于题型,根据其解题时所用到的知识点的多少,对其难度进行打分。所用的知识点多,难度系数就高,所用的知识点少,难度系数就低。比如:题型1,只用到简单的四则运算,故难度系数定义为1;再比如:题型2,一般利用恒等式,将a(x)b(x)化为eb(x)lna(x)后,主要求乘积项的极限limb(x)lna(x),这时可能用到等价无穷小的方法,也可能用到罗必达法则,等等,灵活性较大,故其难度系数规定为2。至于用罗必达法则求极限,可能要多次使用罗必达法则,运算量较大,且在求解的过程中,可能还需用等价无穷小来化简,因此难度系数规定≥2。
下面我们将求极限的主要题型,对其综合难度系数进行了如下分析:
表1 难度系数表
近年来,考研高等数学的试题中,每年都有极限的试题,这些试题基本上是考察学生综合运用知识的能力,这类考题其综合难度系数一般≥3,下面针对近年来的试题作具体的分析。下面的习题1-9,见文献[3]。
(1)(2007年数学一、三 (11), 填空题,4分)
。
答案:0。
难度分析:题型3,利用无穷小的性质求极限,难度系数为3。
(2)(2008年数学一、三(15) , 解答题,10分) 求极限ln.
解:型。
难度分析:题型6, 利用L’Hospital(罗必达)法则求极限。首先用了一个技巧,将ln化为ln1+-1,难度系数为≥1 ;然后利用等价无穷小:ln1+x~x(当x→0时)来进行代换,难度系数为1;最后,利用罗必达法则来求极限,难度系数为1;故本大题综合难度系数为≥3。
(3)(2009年数学一、三(9),填空题,4分)=______。
答案:e
难度分析:多次利用等价无穷小代换:e-e=e1-e~-ecosx-1~xe,-1~x,其难度系数≥3.
(4)(2010年数学一、三(1), 选择题,4分)
若--ae=1,则a等于
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案:(C)
难度分析:初等变形,难度系数为1;再利用等价无穷小e-1~xx→0求极限,难度系数为2. 综合难度系数为3.
(5)(2010年数学一、三(15), 解答题,10分)求极限x-1.
解:由罗必达法则可得:,
而当x→+∞时,→0,故由等价无穷小可得:,
从而
所以,。
难度分析:题型2,幂指型极限。用到对数恒等式、罗必达法则、等价无穷小代换,综合难度系数≥3.
(6)(2011年数学一、三(15),解答题,10分) 求极限
解:
难度分析:题型6,用罗必达法则求极限。第一步,将ln(1+x)替换为等价无穷小x,难度系数为1;后面反复用罗必达法则,难度系数为3;综合难度系数为4.
(7)(2012年数学一、三(9), 填空题,4分)。
解:
。
1∞型。也可利用重要极限来求。事实上,
由于,故由幂指函数的求极限法则,可得。
难度分析:题型2:幂指型极限,难度系数为3。
从上面的分析可见,解答题的试题,都是出现在难度系数≥3的部分。因此,同学们在考研复习时,要重点复习难度系数表中综合难度系数≥3的内容。常考的题型是:幂指型极限求法(题型2),利用无穷小的性质求极限(题型3),利用等价无穷小求极限(题型4),利用重要极限求极限(题型5),利用L’Hospital(罗必达)法则求极限(题型6)。而等价无穷小方法(题型4),又常常与其他方法结合使用,因此显得更为重要。同学们要特别加以重视。